在解析几何中，我们经常需要计算两条平行直线之间的垂直距离。为了理解这个概念并掌握其背后的原理，我们需要从基础开始逐步推导出这一公式。

首先，假设我们有两条平行直线 \( L_1 \) 和 \( L_2 \)，它们的方程分别为：

\[ L_1: Ax + By + C_1 = 0 \]

\[ L_2: Ax + By + C_2 = 0 \]

这里，\( A \) 和 \( B \) 是相同的，因为这两条直线是平行的，而 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 不同，表示两条直线在纵轴上的截距不同。

接下来，我们要找到这两条直线之间的垂直距离。设点 \( P(x_1, y_1) \) 是直线 \( L_1 \) 上的一个点，那么它满足方程 \( Ax_1 + By_1 + C_1 = 0 \)。现在，我们需要找到点 \( P \) 到直线 \( L_2 \) 的最短距离。

根据点到直线的距离公式，点 \( (x_1, y_1) \) 到直线 \( L_2 \) 的距离 \( d \) 可以表示为：

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

由于 \( Ax_1 + By_1 + C_1 = 0 \)，我们可以将其代入上式，得到：

\[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

因此，两条平行直线之间的垂直距离公式为：

\[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

这个公式的推导基于点到直线的距离公式，并利用了平行线具有相同斜率的特点。通过这种方式，我们可以快速且准确地计算出两条平行直线之间的距离。

希望这个推导过程能帮助你更好地理解和应用这一重要的几何概念！