在数学领域中，三角函数是描述角度与边长关系的重要工具之一。其中，正切函数（tangent function），简称“tan函数”，是一种非常基础且常用的函数形式。它通常被定义为直角三角形中某锐角的对边长度与邻边长度的比值。具体来说，对于一个角θ，其正切值可以表示为：

\[

\tan(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}

\]

这种定义方式直观地展示了tan函数的本质，但在实际应用中，我们更常使用单位圆上的坐标来描述tan函数。在单位圆上，给定一个角θ，其对应的点P(x, y)满足x² + y² = 1。此时，tan(θ)等于y/x（当x≠0时）。这一定义不仅适用于锐角，还扩展到了所有实数角度。

除了几何意义外，tan函数还具有一些重要的代数性质和公式。例如，tan函数具有周期性，其最小正周期为π。这意味着对于任意实数k，都有：

\[

\tan(\theta + k\pi) = \tan(\theta)

\]

此外，tan函数还有一些基本的恒等式，如：

\[

\tan(-\theta) = -\tan(\theta)

\]

\[

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}

\]

这些公式在解决复杂的三角问题时尤为关键。通过结合其他三角函数（如sin和cos）的关系，我们可以进一步推导出更多实用的表达式。

总之，tan函数不仅是数学理论中的重要组成部分，也是物理学、工程学等多个学科的实际应用基础。掌握tan函数的基本概念及其相关公式，能够帮助我们更好地理解和解决各类涉及角度和比例的问题。

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