【不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是一个重要的基础概念。它主要用于求解原函数，即已知导数求其对应的函数形式。为了帮助学习者更好地掌握和记忆常见的不定积分公式，以下是对常见不定积分公式的总结，并以表格的形式进行展示。
一、基本不定积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、常见代数函数的不定积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a} \right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln \left | x + \sqrt{x^2 - a^2} \right | + C $ |
三、三角函数相关积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $ | ||
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C $ |
四、反三角函数与指数函数的组合
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ x \cdot e^x $ | $ e^x (x - 1) + C $ |
| $ x \cdot \sin x $ | $ -x \cos x + \sin x + C $ |
| $ x \cdot \cos x $ | $ x \sin x + \cos x + C $ |
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ |
| $ \arctan x $ | $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
五、小结
不定积分是数学中非常重要的工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握这些基本的不定积分公式，有助于提高解题效率和理解能力。建议在学习过程中多做练习，灵活运用这些公式，并结合换元法、分部积分等方法来解决更复杂的问题。
通过系统地整理和归纳，可以更加清晰地掌握不定积分的核心内容，为后续学习定积分、微分方程等内容打下坚实的基础。
