【10个常用麦克劳林公式】在数学分析中，麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，当展开点为0时，即为麦克劳林级数。它在近似计算、函数展开和微分方程求解中具有重要作用。以下是10个常用的麦克劳林公式，适用于常见的初等函数。
一、
麦克劳林公式是将一个函数在原点（x=0）附近展开为无穷级数的形式，通常用于对函数进行近似或分析其局部行为。这些公式基于函数在x=0处的各阶导数值，通过多项式形式表示原函数。掌握这些公式有助于理解函数的性质，并在工程、物理和计算机科学中广泛应用。
以下是10个常见的麦克劳林公式，包括指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数等常见类型。
二、表格展示
| 序号 | 函数表达式 | 麦克劳林展开式 | 收敛区间 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ | $ | x | \leq 1 $ |
| 6 | $ \arcsin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} $ | $ | x | \leq 1 $ |
| 7 | $ \ln(1-x) $ | $ -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 8 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ （仅前几项） | $ | x | < \frac{\pi}{2} $ |
| 9 | $ \sinh x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 10 | $ \cosh x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
三、说明
以上公式均为标准的麦克劳林展开，适用于不同类型的函数。部分函数如$\arcsin x$和$\tan x$的展开式较为复杂，通常只列出前几项用于近似计算。使用时需注意收敛域，避免在不收敛区域应用。
掌握这些公式有助于快速估算函数值、分析函数行为以及解决实际问题中的数学建模任务。
