【xsinx是奇函数还是偶函数】在数学中，函数的奇偶性是一个重要的性质，用于判断函数图像是否关于原点对称（奇函数）或关于y轴对称（偶函数）。对于函数 $ f(x) = x \sin x $，我们需要通过定义来判断它属于奇函数、偶函数，还是非奇非偶函数。
一、函数奇偶性的定义
- 偶函数：若对所有 $ x $ 都有 $ f(-x) = f(x) $，则 $ f(x) $ 是偶函数。
- 奇函数：若对所有 $ x $ 都有 $ f(-x) = -f(x) $，则 $ f(x) $ 是奇函数。
- 非奇非偶函数：既不满足偶函数条件，也不满足奇函数条件。
二、分析 $ f(x) = x \sin x $
我们计算 $ f(-x) $：
$$
f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x)
$$
由于正弦函数是奇函数，即 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以：
$$
f(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \sin x = f(x)
$$
因此，我们得出：
$$
f(-x) = f(x)
$$
这说明函数 $ f(x) = x \sin x $ 满足偶函数的定义。
三、结论总结
根据上述分析，可以得出以下结论：
| 函数表达式 | 奇偶性 | 判断依据 |
| $ f(x) = x \sin x $ | 偶函数 | $ f(-x) = x \sin x = f(x) $ |
四、补充说明
虽然 $ x $ 是奇函数，$ \sin x $ 也是奇函数，但它们的乘积却是一个偶函数。这是因为两个奇函数相乘的结果是偶函数。这一性质在三角函数和多项式函数中较为常见。
五、小结
综上所述，$ x \sin x $ 是一个偶函数。其图像关于 y 轴对称，符合偶函数的定义与特性。
